Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\tan (x) + \tan (y)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (y)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (y)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 6

Addiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 6.2

Um $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \cos (y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (y) \cos (x)}$

Schritt 6.3.3

Stelle die Faktoren von $\cos (y) \cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$ ist eine Identitätsgleichung