Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.2

Multipliziere $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (\cos (x) + 1) - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) \cdot 1$ und $- 1 \cos (x)$ neu an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.3.2

Subtrahiere $1 \cos (x)$ von $1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 0 - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.3.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.5.4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.4.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.5

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.9

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.5.11

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Schritt 2.6

Dividiere $0$ durch $\sin (x) (\cos (x) + 1)$ .

$0$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$ ist eine Identitätsgleichung