Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x) + \tan (x)}{1 + \sec (x)} = \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x) + \tan (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \sec (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \frac{1}{\cos (x)}}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + 1}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) \sin (x) + \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \cdot 1 + 1}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1)}{\cos (x) \cdot 1 + 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1)}{\cos (x) + 1}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) + 1$ .

$\sin (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x) + \tan (x)}{1 + \sec (x)} = \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung