Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ mit $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 4.3

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ um.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Schritt 6.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7.4

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2

Multipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.3

Um $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\cos (x)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.6.3

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.7.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 8.7.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus $- {\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.11

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 8.13

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 8.14

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Schritt 8.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 8.14.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 8.15

Multipliziere $- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 9

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Schritt 10.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 12

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$ ist eine Identitätsgleichung