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Trigonometrie Beispiele
sin3(t)+cos3(t)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)=sin(t)+cos(t)sin3(t)+cos3(t)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)=sin(t)+cos(t)
Schritt 1
Beginne auf der linken Seite.
sin3(t)+cos3(t)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)sin3(t)+cos3(t)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
Schritt 2
Schritt 2.1
Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), wobei a=sin(t)a=sin(t) und b=cos(t)b=cos(t).
(sin(t)+cos(t))(sin2(t)-sin(t)cos(t)+cos2(t))+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)(sin(t)+cos(t))(sin2(t)−sin(t)cos(t)+cos2(t))+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
Schritt 2.2
Vereinfache.
Schritt 2.2.1
Ordne Terme um.
(sin(t)+cos(t))(-sin(t)cos(t)+sin2(t)+cos2(t))+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)(sin(t)+cos(t))(−sin(t)cos(t)+sin2(t)+cos2(t))+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
Schritt 2.2.2
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
(sin(t)+cos(t))(-sin(t)cos(t)+1)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
(sin(t)+cos(t))(-sin(t)cos(t)+1)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
(sin(t)+cos(t))(-sin(t)cos(t)+1)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)
Schritt 3
Schritt 3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.1
Multipliziere (sin(t)+cos(t))(-sin(t)cos(t)+1) aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 3.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
sin(t)(-sin(t)cos(t)+1)+cos(t)(-sin(t)cos(t)+1)+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
sin(t)(-sin(t)cos(t))+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t)+1)+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
sin(t)(-sin(t)cos(t))+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
sin(t)(-sin(t)cos(t))+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.1
Multipliziere sin(t)(-sin(t)cos(t)).
Schritt 3.1.2.1.1
Potenziere sin(t) mit 1.
-(sin(t)1sin(t))cos(t)+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.1.2
Potenziere sin(t) mit 1.
-(sin(t)1sin(t)1)cos(t)+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.1.3
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
-sin(t)1+1cos(t)+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.1.4
Addiere 1 und 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
-sin(t)2cos(t)+sin(t)⋅1+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.2
Mutltipliziere sin(t) mit 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)+cos(t)(-sin(t)cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.3
Multipliziere cos(t)(-sin(t)cos(t)).
Schritt 3.1.2.3.1
Potenziere cos(t) mit 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)(cos(t)1cos(t))+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.3.2
Potenziere cos(t) mit 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)(cos(t)1cos(t)1)+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.3.3
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)1+1+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.3.4
Addiere 1 und 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)⋅1+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.1.2.4
Mutltipliziere cos(t) mit 1.
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
-sin(t)2cos(t)+sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)+sin(t)cos(t)2+sin(t)2cos(t)
Schritt 3.2
Addiere -sin(t)2cos(t) und sin(t)2cos(t).
sin(t)-sin(t)cos(t)2+cos(t)+sin(t)cos(t)2+0
Schritt 3.3
Addiere sin(t) und 0.
-sin(t)cos(t)2+cos(t)+sin(t)cos(t)2+sin(t)
Schritt 3.4
Addiere -sin(t)cos(t)2 und sin(t)cos(t)2.
0+cos(t)+sin(t)
Schritt 3.5
Addiere 0 und cos(t).
cos(t)+sin(t)
cos(t)+sin(t)
Schritt 4
Schreibe cos(t)+sin(t) als sin(t)+cos(t) um.
sin(t)+cos(t)
Schritt 5
Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.
sin3(t)+cos3(t)+sin(t)cos2(t)+sin2(t)cos(t)=sin(t)+cos(t) ist eine Identitätsgleichung