Trigonometrie Beispiele

$1 - 2 \cos^{2} (x) = \frac{\tan^{2} (x) - 1}{\tan^{2} (x) + 1}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\tan^{2} (x) - 1}{\tan^{2} (x) + 1}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan^{2} (x) - 1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec^{2} (x) - 1 - 1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 4.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 - 1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 - 1}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - 1) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - 1) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - 1) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 2) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Schritt 5.5

Dividiere ${\cos (x)}^{2}$ durch $1$ .

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 2) {\cos (x)}^{2}$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 2 {\cos (x)}^{2}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 - 2 \cos^{2} (x) = \frac{\tan^{2} (x) - 1}{\tan^{2} (x) + 1}$ ist eine Identitätsgleichung