Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{\tan (x)}^{3} - 1^{3}}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) \cdot 1 + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1)}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x) - 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 3.1

Bewege $1$ .

$\tan^{2} (x) + 1 + \tan (x)$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) + \tan (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$ ist eine Identitätsgleichung