Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) \sec (x) = \sec (x) + \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\sec (x) + \csc (x) \cot (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) \cot (x)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{1}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Um $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $\cos (x) \sin^{2} (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Schritt 5

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$ als $\csc^{2} (x) \sec (x)$ um.

$\csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) \sec (x) = \sec (x) + \csc (x) \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung