Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \cot^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ und ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Subtrahiere ${\cos (x)}^{2}$ von ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{0}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Dividiere $0$ durch ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 0$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x) = 1$ ist eine Identitätsgleichung