Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ mit $\frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$ .

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1} \cdot \frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x) + 1)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x) \cdot 1}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)$ um.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x) + 1) + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + 1 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Schritt 6.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 7.4

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.2

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.3

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\sin (x)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.6

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.6.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (x)}^{2}$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere ${\sin (x)}^{2}$ aus $- {\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$(- 1 + \sin (x)) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Schritt 8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- 1 + \sin (x)) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.11

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.12

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Schritt 10.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.4

Schreibe $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ um.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 12

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ ist eine Identitätsgleichung