Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)} = \frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$ mit $\frac{- \sec (t) + 1}{- \sec (t) + 1}$ .

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1} \cdot \frac{- \sec (t) + 1}{- \sec (t) + 1}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\tan (t) (- \sec (t) + 1)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t) \cdot 1}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t)$ um.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t) + 1) + 1 (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t)) + \sec (t) \cdot 1 + 1 (- \sec (t) + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t)) + \sec (t) \cdot 1 + 1 (- \sec (t)) + 1 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \sec^{2} (t) + 1}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (t)$ heraus.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- (\sec^{2} (t)) + 1}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \sec^{2} (t) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (t) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- (\sec^{2} (t) - 1)}$

Schritt 6.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \sec (t) + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

Schritt 7.3

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- \tan^{2} (t)}$

Schritt 7.4

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}}$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ an.

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.2

Multipliziere $- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$(- \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.3

Um $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\cos (t)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{\cos (t) \cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.6

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $- \sin (t) + \sin (t) \cos (t)$ heraus.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $- \sin (t)$ heraus.

$\frac{\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin (t) \cos (t)$ heraus.

$\frac{\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) (\cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.6.3

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) (\cos (t))$ heraus.

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (t)$ .

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Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $\sin (t)$ aus ${\sin (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t) \sin (t)}$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t) \sin (t)}$

Schritt 8.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (t)}^{2}$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere ${\cos (t)}^{2}$ aus $- {\cos (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (t)}^{2} \cdot - 1}{\sin (t)}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (t)}^{2} \cdot - 1}{\sin (t)}$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$(- 1 + \cos (t)) \frac{- 1}{\sin (t)}$

Schritt 8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- 1 + \cos (t)) (- \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (t)}) + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 8.11

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{\sin (t)})$ .

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (t)} + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (t)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (t)} + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 8.12

Kombiniere $\cos (t)$ und $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{1}{\sin (t)} - \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 9

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)}$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} - 1}{\tan (t)}$

Schritt 10.2

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} - 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (t)} - 1) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 11.4

Schreibe $- 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ als $- \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ um.

$\frac{1}{\sin (t)} - \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 12

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)} = \frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$ ist eine Identitätsgleichung