Trigonometrie Beispiele

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (π) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\cos (π) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (0) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.4

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$- 1 \cos (x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.5

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$- \cos (x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \cos (x) - \sin (0) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \cos (x) - 0 \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \cos (x) + 0 \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.9

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 (- \sin (x)) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.10

Multipliziere $0 (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \cos (x) + 0 \sin (x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \cos (x) + 0 + 1 \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.12

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Schritt 4.1.13

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0 \sin (x)$

Schritt 4.1.14

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0$ .

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Schritt 4.2.1

Addiere $- \cos (x)$ und $0$ .

$- \cos (x) + \cos (x) + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $- \cos (x) + \cos (x)$ und $0$ .

$- \cos (x) + \cos (x)$

Schritt 4.2.3

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$0$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$ ist eine Identitätsgleichung