Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) = \frac{2 - \sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{2 - \sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2 - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ in den Zähler.

$2 \cos^{2} (x) + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos^{2} (x) + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 2.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (2 x) = \frac{2 - \sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung