Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)}$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan^{2} (t) + 1}{\tan (t)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\tan (t)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} + 1) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 5

Addiere Brüche.

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Schritt 5.1

Um $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 5.2

Um $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (t) \sin (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (t) \cos (t)$ um.

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 8

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\cot (t) + \tan (t)$

Schritt 9

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 9.1

Schreibe $\cot (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)$

Schritt 9.2

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 10

Addiere Brüche.

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Schritt 10.1

Um $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 10.2

Um $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (t) \cos (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 10.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (t) \cos (t)$ um.

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 12

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$ ist eine Identitätsgleichung