Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Ordne Terme um.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.6

Multipliziere $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5

Multipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.7.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.1.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.2

Addiere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7.3

Addiere $1$ und $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 2.11

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$ ist eine Identitätsgleichung