Trigonometrie Beispiele

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\tan (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\sec (u) + \tan (u))$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\sec (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u))$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\tan (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Schritt 2.3

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Schritt 2.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ und $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ neu an.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ von $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + 0 - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.4.3

Addiere $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (u)}$ mit $\frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5.1.3

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (u)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 2.5.2

Multipliziere $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ mit $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.3

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.6

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos (u)}$

Schritt 2.5.2.7

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}$

Schritt 2.5.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{{\cos (u)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (u)$ .

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Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$ ist eine Identitätsgleichung