Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ um.

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\cos (x)$ von $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Kombinieren.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 12

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Schritt 13

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 13.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Schritt 13.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14.3

Multipliziere $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 14.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Schritt 14.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Schritt 14.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 14.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 14.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 15

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung