Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 - \sin (x)}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 - \sin (x)}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ ist eine Identitätsgleichung