Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{11 π}{12})$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{11 π}{12}$ in $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{2 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 7.2

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 7.3

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Schritt 8

Schreibe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9

Multipliziere $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Schritt 10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Schritt 10.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Schritt 10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Schritt 10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Schritt 10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Schritt 10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Schritt 10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Schritt 12

Schreibe $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ als $- (2 - \sqrt{3})$ um.

$- (2 - \sqrt{3})$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 15

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 0.26794919 \dots$