Trigonometrie Beispiele

$\sec (- \frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Ersetze $\sec (- \frac{5 π}{12})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

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Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $- \frac{5 π}{12}$ in $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.2

Wende die Differenzformel für den Kosinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.4.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.4.8

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

Schritt 3.8.2

Schreibe $- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ als $- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ um.

$- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- - \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Schritt 3.10

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Schritt 3.11

Multipliziere $- - \sqrt{6}$ .

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

Dezimalform:

$3.86370330 \dots$