Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Schritt 1.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ an.

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Schritt 3.5

Vereinfache.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 9

Schreibe $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Addiere $0$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$