Trigonometrie Beispiele

$\sin (75) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (30 + 45) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (15) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - 30) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - (30)) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.4

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.11

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.14

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.15

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.5.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.5.3

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (75) \sin (15)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\cos (75)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.7.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (30 + 45) \sin (15)$

Schritt 1.7.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.7.3

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.7.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.7.5

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.7.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.7.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.7.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.7.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (15)$

Schritt 1.7.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (15)$

Schritt 1.8

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.8.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45 - 30)$

Schritt 1.8.2

Separiere die Negation.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45 - (30))$

Schritt 1.8.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.8.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.8.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 1.8.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Schritt 1.8.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.8.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.8.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.8.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.8.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.8.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.8.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.8.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 1.8.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.9

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.9.2

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.9.3

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.9.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Schritt 1.10

Schreibe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.12.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.12.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.9

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Schritt 1.12.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.10

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.12.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.12.1.13

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.12.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.13.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Schritt 1.12.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Schritt 1.12.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.12.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Schritt 1.12.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 1.12.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.12.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 1.12.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Schritt 1.12.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Schritt 1.12.2

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.12.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.13.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Schritt 1.13.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Schritt 1.13.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.3

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + 1 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$0.86602540 \dots$