Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $\cos (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 1

Um den Wert von $\tan (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sqrt{2}$

Schritt 3

Um den Wert von $\cot (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\tan (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Um den Wert von $\sec (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = 1 \cdot 3$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = 3$

Schritt 7

Um den Wert von $\csc (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\sin (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = 1 (\frac{3}{2 \sqrt{2}})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 9

Die ermittelten trigonometrischen Funktionen sind wie folgt:

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

$\tan (x) = 2 \sqrt{2}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (x) = 3$

$\csc (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$