Trigonometrie Beispiele

$(3, \frac{π}{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(3)}^{2} + {(\frac{π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\frac{π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{3}$ an.

$r = \sqrt{9 + \frac{π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9 + π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$r = \sqrt{\frac{81 + π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{81 + π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Schreibe $\sqrt{\frac{81 + π^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{π}{9}$ ist $θ = 19.24235052 °$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

$θ = 19.24235052 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}, 19.24235052 °)$