Trigonometrie Beispiele

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten

(x, y)

$(x, y)$ in Polarkoordinaten

(r, θ)

$(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze

x

$x$ und

y

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

r = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{\sqrt{3}}{2}

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere

\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 3.3.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

r = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.6

Addiere

$3$ und

$1$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.7

Dividiere

$4$ durch

$4$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.8

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze

$x$ und

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ist

$θ = 150 °$ .

$r = 1$

$θ = 150 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in

$(r, θ)$ -Form.

$(1, 150 °)$