Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.6

Addiere $3$ und $1$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.7

Dividiere $4$ durch $4$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ist $θ = 150 °$ .

$r = 1$

$θ = 150 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(1, 150 °)$