Trigonometrie Beispiele

$3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2 i}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 3 \sqrt{2}$ und $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{9 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{9 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{9 + 9 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{9 + 9 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 18}$

Schritt 4.3.2

Addiere $9$ und $18$ .

$| z | = \sqrt{27}$

Schritt 4.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$| z | = \sqrt{9 (3)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 3 \sqrt{3}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{3 \sqrt{2}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 3}{3 \sqrt{2}}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- 0.6154797$ .

$θ = - 0.6154797$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - 0.6154797$ und $| z | = 3 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3} (\cos (- 0.6154797) + i \sin (- 0.6154797))$