Trigonometrie Beispiele

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Schritt 2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Schritt 3

Multipliziere $- 4 i (8 i)$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Schritt 3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Schritt 3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Schritt 5

Stelle $32 \sqrt{3} i$ und $32$ um.

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Schritt 6

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 7

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 8

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 32$ und $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Schritt 9

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $32 \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $32$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Schritt 9.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Schritt 9.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Schritt 9.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Schritt 9.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $1024$ mit $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Schritt 9.3.2

Potenziere $32$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Schritt 9.3.3

Addiere $3072$ und $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Schritt 9.3.4

Schreibe $4096$ als $64^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Schritt 9.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 64$

Schritt 10

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Schritt 11

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 12

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{3}$ und $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$