Trigonometrie Beispiele

$(- 3, 6)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 3, 6)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 3, 0)$ und $(- 3, 6)$ .

Gegenüberliegend : $6$

Ankathete : $- 3$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + 36}$

Schritt 2.3

Addiere $9$ und $36$ .

$\sqrt{45}$

Schritt 2.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\sqrt{9 (5)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt{5}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{6}{3 \sqrt{5}}$ .

$\frac{6}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{5}$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{5})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$