Trigonometrie Beispiele

$(1, 3)$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(1, 3)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(1, 0)$ und $(1, 3)$ .

Gegenüberliegend : $3$

Ankathete : $1$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.31622776$