Trigonometrie Beispiele

$(14, - 14)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(14, - 14)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(14, 0)$ und $(14, - 14)$ .

Gegenüberliegend : $- 14$

Ankathete : $14$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\sqrt{196 + {(- 14)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$\sqrt{196 + 196}$

Schritt 2.3

Addiere $196$ und $196$ .

$\sqrt{392}$

Schritt 2.4

Schreibe $392$ als $14^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $196$ aus $392$ heraus.

$\sqrt{196 (2)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$\sqrt{14^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$14 \sqrt{2}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{- 14}{14 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 14}{14 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $14$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{14 \cdot - 1}{14 \sqrt{2}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14 \sqrt{2}$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{14 \cdot - 1}{14 (\sqrt{2})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{14 \cdot - 1}{14 \sqrt{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx - 0.70710678$