Trigonometrie Beispiele

$(- 2, - \sqrt{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 2, - \sqrt{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 2, 0)$ und $(- 2, - \sqrt{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \sqrt{2}$

Ankathete : $- 2$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{4 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 1 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 + {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 + 2^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 + 2}$

Schritt 2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\sqrt{6}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{6}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{2}{\sqrt{6}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\cos (θ) = - \frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \approx - 0.81649658$