Trigonometrie Beispiele

$y = 3 \tan (\frac{1}{3} x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{x}{3})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 3 \tan (\frac{x}{3})$ auftritt.

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere $3 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{x}{3}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 3 \tan (\frac{x}{3})$ tritt auf bei $(- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , wobei $- \frac{3 π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 1.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{x}{3})$ treten auf bei $- \frac{3 π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ und aller $3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Schritt 1.8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 3$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $3 \tan (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 4.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 4.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 \cdot 3$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8