Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $\frac{\sin (x + \frac{π}{6})}{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.1.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $- \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$2 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $- \frac{π}{6}$ durch $1$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- \frac{1}{2}$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Addiere $- \frac{π}{6}$ und $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2.2.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $π \cdot 2$ und $π$ .

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Schritt 6.2.2.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 \cdot π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.4.2

Addiere $2 \cdot π$ und $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 6.2.2.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot π$ heraus.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.7

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.2.8.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 6.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{6}$

Schritt 6.2.2.10

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{6}$

Schritt 6.2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{6}$

Schritt 6.2.2.12

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Addiere $5 π$ und $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (π)}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{8 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.1.2

Addiere $8 π$ und $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 6.4.2.4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.5

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.6

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.2.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 6.4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 3}{6}$

Schritt 6.4.2.9

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 5}{6}$

Schritt 6.4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.11

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6}$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.1.2

Addiere $11 π$ und $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{12 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 π$ heraus.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (2 π)}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{π}{3} & - \frac{1}{6} \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{5}{6} \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- \frac{1}{2}$

Schritt 8