Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Schritt 1.4

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln ({(1)}^{2})}{1}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $\ln ({(1)}^{2})$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1)$

Schritt 2.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2)}^{2})}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln ({(2)}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\ln (2)$ durch $1$ .

$f (2) = \ln (2)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2)$ nach Dezimal.

$y = 0.69314718$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ um.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln ({(3)}^{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln ({({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{2 (\frac{1}{3})})$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ nach Dezimal.

$y = 0.73240819$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.69314718), (3, 0.73240819)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.693 \\ 3 & 0.732 \end{array}$

Schritt 6