Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = 3$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $2$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $2 \sin (3 x + \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{2}$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $2$

Periode: $\frac{2 π}{3}$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (- \frac{π}{6}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{- π}{6}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{- π}{3 (2)}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{- π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{- π}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{- π + π}{2})$

Schritt 6.1.2.2.2

Addiere $- π$ und $π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{0}{2})$

Schritt 6.1.2.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (0)$

Schritt 6.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot 0$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 6.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 \sin (3 (0) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 2 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = 2$

Schritt 6.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{6}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{3 (2)}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π + π}{2})$

Schritt 6.3.2.3

Addiere $π$ und $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Schritt 6.3.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (π)$

Schritt 6.3.2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (0)$

Schritt 6.3.2.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0$

Schritt 6.3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Schritt 6.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (π + \frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Schritt 6.4.2.4.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 6.4.2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 6.4.2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 6.4.2.7

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Schritt 6.4.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Schritt 6.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 6.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π + π}{2})$

Schritt 6.5.2.3

Addiere $3 π$ und $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{4 π}{2})$

Schritt 6.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Schritt 6.5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Schritt 6.5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 π}{1})$

Schritt 6.5.2.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 π)$

Schritt 6.5.2.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (0)$

Schritt 6.5.2.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Schritt 6.5.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Schritt 6.5.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $2$

Periode: $\frac{2 π}{3}$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Schritt 8