Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x - 3 π)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \tan (\frac{x}{2} - 3 π)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 2 \tan (\frac{x}{2} - 3 π)$ auftritt.

$\frac{x}{2} - 3 π = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Addiere $3 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + 3 π$

Schritt 1.2.1.2

Um $3 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $3 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{- π + 3 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- π + 6 π}{2}$

Schritt 1.2.1.5.2

Addiere $- π$ und $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 5 π$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{x}{2} - 3 π$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 3 π = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Addiere $3 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 3 π$

Schritt 1.4.1.2

Um $3 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $3 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π + 3 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π + 6 π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $π$ und $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 7 π$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \tan (\frac{x}{2} - 3 π)$ tritt auf bei $(5 π, 7 π)$ , wobei $5 π$ und $7 π$ vertikale Asymptoten sind.

$(5 π, 7 π)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 1.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \tan (\frac{x}{2} - 3 π)$ treten auf bei $5 π$ , $7 π$ und aller $x = 5 π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = 5 π + 2 π n$

Schritt 1.8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 5 π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 5 π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 3 π$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $2 \tan (\frac{x}{2} - 3 π)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $3 π \cdot 2$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

Phasenverschiebung: $6 π$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $6 π$ ( $6 π$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = 5 π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $6 π$ ( $6 π$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8