Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sec^{2} (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sec^{2} (y) = x$ um.

$\sec^{2} (y) = x$

Schritt 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Schritt 2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Schritt 2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Schritt 2.5

Löse in $\sec (y) = \sqrt{x}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Schritt 2.6

Löse in $\sec (y) = - \sqrt{x}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 2.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sec^{2} (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $arcsec (\sqrt{x})$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.2

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{x})$ kleiner oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x \leq 1$

Schritt 4.3.3.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} + 1$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.3.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.3.3.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 4.3.3.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.3.3.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.3.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.3.3.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Schritt 4.3.3.5.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.3.5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.3.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 4.3.3.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Schritt 4.3.3.5.2.3

Die linke Seite $0.70710678$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.3.5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.3.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.3.3.5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Schritt 4.3.3.5.3.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.3.5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 4.3.3.6

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.3.4

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{x})$ größer oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x} \geq 1$

Schritt 4.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.5.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x \geq 1$

Schritt 4.3.5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} - 1$ .

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Schritt 4.3.5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.5.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.3.5.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 1$

Schritt 4.3.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ ist, ist $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5