Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log (x - 2) + 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log (x - 2) + 1$ nicht definiert ist.

$x \leq 2$

Schritt 1.2

Da $\log (x - 2) + 1$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $2$ von links und $\log (x - 2) + 1$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $2$ von rechts, dann ist $x = 2$ eine vertikale Asymptote.

$x = 2$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log ((3) - 2) + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (3) = \log (1) + 1$

Schritt 2.2.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$f (3) = 0 + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (3) = 1$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 12$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f (12) = \log ((12) - 2) + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$f (12) = \log (10) + 1$

Schritt 3.2.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (12) = 1 + 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (12) = 2$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \log ((4) - 2) + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (4) = \log (2) + 1$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (2) + 1$ .

$\log (2) + 1$

Schritt 4.3

Konvertiere $\log (2) + 1$ nach Dezimal.

$y = 1.30102999$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 2$ und den Punkten $(3, 1), (12, 2), (4, 1.30102999)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 1 \\ 4 & 1.301 \\ 12 & 2 \end{array}$

Schritt 6