Trigonometrie Beispiele

$(1, \sqrt{2})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(1, \sqrt{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(1, 0)$ und $(1, \sqrt{2})$ .

Gegenüberliegend : $\sqrt{2}$

Ankathete : $1$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + 2^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 + 2}$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.81649658$