Trigonometrie Beispiele

${(1 - i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.25.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.26

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.27

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.28

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Schritt 2.1.29

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Schritt 2.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Schritt 2.1.31

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 5 i$ und $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $i$ von $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4$ und $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Schritt 6.3

Addiere $16$ und $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Schritt 6.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{4}{- 4}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$