Trigonometrie Beispiele

${(2 - 2 i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $80 (4 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $80$ mit $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $8$ mit $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Multipliziere $10 (16 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.24.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.24.2

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.26

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Schritt 2.1.27

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Schritt 2.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Schritt 2.1.29

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $320$ von $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 288$ und $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 160 i$ und $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $32 i$ von $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 128$ und $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $128$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 128$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Schritt 6.3

Addiere $16384$ und $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Schritt 6.4

Schreibe $32768$ als $128^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $16384$ aus $32768$ heraus.

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $16384$ als $128^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{128}{- 128}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$