Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) < 0$ , $\sin (x) < 0$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x < \arctan (0)$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x < 0$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.8.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (1) < 0$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.1.3

Die linke Seite $1.55740772$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2) < 0$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.2.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.10.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Wahr oder $\sin (x) < 0$

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Wahr oder $\sin (x) < 0$

Schritt 1.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\sin (x) < 0$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x < \arcsin (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x < 0$

Schritt 2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = π - 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = π$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = 2 π n, π + 2 π n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = π n$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.8.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = 1$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\tan (1) < 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $1.55740772$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or False

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = 2$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\tan (2) < 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or True

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = 4$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\tan (4) < 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $1.15782128$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or False

Schritt 2.10.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $x = 5$

Schritt 2.10.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\tan (5) < 0$

Schritt 2.10.4.3

Die linke Seite $- 3.380515$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or True

Schritt 2.10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Wahr

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falsch

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Wahr

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Wahr

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falsch

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ oder $\frac{π}{2} + 2 π n < x < π + 2 π n$ oder $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$

Schritt 3