Trigonometrie Beispiele

$(- 2, - 2 \sqrt{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(- 2 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$r = \sqrt{4 + 12}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Addiere $4$ und $12$ .

$r = \sqrt{16}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \sqrt{4^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- 2 \sqrt{3}}{- 2})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\sqrt{3}$ ist $θ = 240 °$ .

$r = 4$

$θ = 240 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(4, 240 °)$