Trigonometrie Beispiele

$(2, \frac{7 π}{6})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7 π}{6}$ an.

$r = \sqrt{4 + \frac{{(7 π)}^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $7 π$ an.

$r = \sqrt{4 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49 π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 36 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$r = \sqrt{\frac{144 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{144 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Schreibe $\sqrt{\frac{144 + 49 π^{2}}{36}}$ als $\frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.9.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{7 π}{12}$ ist $θ = 61.37984657 °$ .

$r = \frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = 61.37984657 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{144 + 49 π^{2}}}{6}, 61.37984657 °)$