Trigonometrie Beispiele

$\tan (15)$

Schritt 1

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multipliziere mit $\frac{π}{180 °}$ , da ein Vollkreis $360 °$ oder $2 π$ rad ist.

Schritt 2

Der genau Wert von $\tan (15)$ ist $2 - \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\tan (45 - 30) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.2

Separiere die Negation.

$\tan (45 - (30)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8

Vereinfache $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 2.8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.8.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.8.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.6

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.7

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.9

Vereinfache.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.10.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.10.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.11

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.12

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.8.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.8.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.8.13.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.13.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 2.8.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.14.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$(2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $180$ heraus.

$2 (\frac{π}{2 (90)}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 5

Kombiniere $\frac{π}{180}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ Radiant