Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Ersetze $\sec (\frac{π}{12})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\cos (\frac{π}{12})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{12})}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

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Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{π}{12}$ in $\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})}$

Schritt 2.2

Wende die Differenzformel für den Kosinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.4.6

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Schritt 3.8.2

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ als $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ um.

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Schritt 3.10

Multipliziere $- - \sqrt{6}$ .

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Dezimalform:

$1.03527618 \dots$