Trigonometrie Beispiele

\sec (\frac{15 π}{8})

$\sec (\frac{15 π}{8})$

Schritt 1

Ersetze

\sec (\frac{15 π}{8})

$\sec (\frac{15 π}{8})$ durch einen äquivalenten Ausdruck

\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}

$\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}

$\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wandle von

\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}

$\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ nach

\sec (\frac{15 π}{8})

$\sec (\frac{15 π}{8})$ um.

\sec (\frac{15 π}{8})

$\sec (\frac{15 π}{8})$

Schritt 2.2

Der genau Wert von

\sec (\frac{15 π}{8})

$\sec (\frac{15 π}{8})$ ist

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe

\frac{15 π}{8}

$\frac{15 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch

2

$2$ .

\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})

$\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Schritt 2.2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf

\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})

$\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ an.

\frac{1}{\cos (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

Schritt 2.2.3

Wende die Halbwinkelformel

\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Change the

\pm

$\pm$ to

+

$+$ because secant is positive in the fourth quadrant.

\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache

\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von

2 π

$2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich

0

$0$ und kleiner als

2 π

$2 π$ ist.

\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.1.3

Der genau Wert von

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.2

Multipliziere

\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Mutltipliziere

\frac{2 + \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Schritt 2.2.5.2.3

Schreibe

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 2.2.5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.4.1

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 2.2.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Schritt 2.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.5.4

Mutltipliziere

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ mit

1

$1$ .

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Dezimalform:

1.08239220 \dots

$1.08239220 \dots$