Trigonometrie Beispiele

$\tan (- 105)$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $- 105$ in $45 - 150$ aufgeteilt werden.

$\tan (45 - 150)$

Schritt 2

Wende die Differenzformel für den Tangens an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\tan (150)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

Schritt 5.3

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 5.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.6

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Schritt 10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Schritt 10.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Schritt 10.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{3} + 3$ und $6$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Schritt 10.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Schritt 10.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Schritt 10.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Schritt 10.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Schritt 11.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $2$ .

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 11.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 11.4.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$3.73205080 \dots$