Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} = \csc (x) + \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 7

Vereinfache Nenner.

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Schritt 7.1

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 10

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\csc (x) + \cot (x)$

Schritt 11

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 11.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Schritt 11.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 13

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} = \csc (x) + \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung