Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ um.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- - \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $(- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sin (x))$ .

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Schritt 3.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.4

Multipliziere $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 3.1.7.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.1.7.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + 0 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $2 \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.4

Subtrahiere ${\sin (x)}^{2}$ von ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.5

Addiere $2 \sin (x)$ und $2 \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 3.6

Addiere $4 \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ als $4 \tan (x) \sec (x)$ um.

$4 \tan (x) \sec (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$ ist eine Identitätsgleichung